Tout d'abord, il est important de souligner que c'est par l'étude de l'orbite de Mars que Kepler est arrivé à l'établissement de ces lois. Il se vantait de pouvoir déterminer cette orbite en 8 jours, il y consacrera 8 ans.
Kepler est un fervent partisan de l'héliocentrisme et il dispose des excellentes mesures de Tycho Brahé, très précises pour l'époque. Il connaît de plus la période de rétrogradation de Mars, à savoir le nombre de jours séparant deux oppositions de la planète. Cette période est de 780 jours.
Une planète est dite en opposition lorsque cette planète, la Terre et le Soleil sont alignés. Grâce à la connaissance de cette période dite sinodique et de la période sidérale de la planète Terre, il est assez simple de trouver la période sidérale de la planète étudiée, la période sidérale étant la durée écoulée entre deux passages successifs au même point de l'orbite. Voici comment il a procédé :
780 jour séparent deux oppositions de Mars. Durant cette période, La Terre a parcouru plus de deux tours (780=365*2+50). Appelons a ce supplément angulaire. Mars, quant à elle, a parcouru un peu plus d'un tour. On peut constater que le supplément angulaire est le même.
Considérons maintenant le mouvement des deux planètes comme uniforme. On peut écrire leur vitesse angulaire, avec T la période sinodique de Mars, TT la période sidérale de la Terre et TM celle de Mars :
En remplaçant T et TT par leur valeur, on peut calculer TM
Kepler est ainsi arrivé à la période sidérale de Mars, qui est de 687 jours. Il ne lui reste plus qu'à faire des observations de la position de Mars tout les 687 jours. Mais Kepler, à cause de sa myopie, est un piètre observateur. Il se base alors sur les mesures de son maître, Tycho Brahé. La chance lui sourit, car il découvre dans les mesures de Brahé certaines qui ont été faites avec précisément 687 jours d'écart. Les voici dans ce tableau :
Observation de Mars par Tycho Brahé
Date de l'observation
Terre Longitude héliocentrique
Mars Longitude géocentrique
17 février 1585 5 janvier 1587
159°23' 115°21'
135°12' 182°08'
19 septembre 1591 6 août 1593
5°47' 323°26'
284°18' 346°56'
7 décembre 1593 25 octobre 1595
85°23' 41°42'
3°04' 49°42'
28 mars 1587 12 février 1589
196°50' 153°42'
168°12' 218°48'
10 mars 1585 26 janvier 1587
179°41' 136°06'
131°48' 184°42'
Voilà comment Kepler a procédé : Considérons le Soleil au centre de l'orbite terrestre, considéré comme circulaire, et prenons le point de l'équinoxe de printemps comme la direction 0°. En reportant la longitude héliocentrique de 159°23' de la terre, on détermine la position de la Terre par rapport au Soleil le 17 février 1585. A partir de cette position, on peut tracer la droite donnant la direction de Mars grâce à sa longitude par rapport à la Terre qui est alors de 135°12'. En procédant de la même manière pour les données du 5 janvier 1587, soit 687 jours après la première mesure, on obtient la direction de Mars à cette date. Le point de rencontre des deux directions du 17 février 1585 et du 5 janvier 1587 donne alors un premier point de l'orbite de Mars.
En procédant de la même manière pour les données du 19 septembre 1591 et du 6 août 1593, on peut déterminer un autre point de l'orbite de Mars. Le premier point sera choisi par Kepler comme l'aphélie de Mars et le second comme sa périhélie.
En continuant ainsi, on obtient 5 points de l'orbite de Mars. En joignant l'aphélie et la périhélie, on doit obtenir le diamètre de l'orbite de Mars si celle-ci est bien circulaire. On peut donc obtenir le centre de ce cercle et le tracer. Le problème, c'est que le cercle ne passe pas par les autres points. Qu'à cela ne tienne, il suffit de choisir 3 points, puisque trois points définissent un cercle et un seul, et de tracer le cercle passant par ces trois points. L'ennui, c'est qu' aucun des dix cercles obtenus en utilisant chaque points ne passe par tous les points à la fois. Il faut se rendre à l'évidence : l'orbite de Mars n'est pas circulaire !
En considérant alors une ellipse, le segment joignant l'aphélie et la périhélie est l'axe focal. En considérant que le soleil est l'un des foyers, on peut alors tracer une ellipse dont le paramètre a ( demi grand axe ) est la distance moyenne de la planète au soleil. L'ellipse ainsi définie est une meilleure représentation de l'orbite de Mars.
Soulignons toutefois que Kepler n'a pas procédé exactement de cette manière pour démontrer que les trajectoires étaient elliptiques, mais par des calculs qui lui ont pris plusieurs années. Cette méthode est une approximation graphique.
Pour ce qui est de la 2ème loi, il connaissait l'irrégularité du mouvement de la Terre, et à chercher la règle à laquelle
obéit ce mouvement. Après avoir imaginé une dépendance inversement proportionnelle à la distance du Soleil et d'autres encore, il mis au
point la loi des aires.
